Vraag en antwoord 19

Als ik met een analoge theodoliet een hoek meet zodat ik hoe en twee zijden heb hoe bereken ik dan de ontbrekende zijde?

Door gebruik te maken van de Cosinusregel

---

Uitgebreide uitleg

Je meet twee richtingen en twee afstanden en je wil de derde afstand berekenen.

Ten eerste een begripsverschil hoek versus richting, wat je meet zijn richtingen: Je meet richting de linkerkant van een gevel en richting de rechterkant van de gevel. Het verschil van die twee richtingen is de hoek. Let daarbij wel op dat je mogelijk door de 0 richting bent gekomen.

Bijvoorbeeld: linkerkant van de gevel is de gemeten richting 390,0000gon en de rechterkant 10,0000gon; de uitkomst is dan 2de richting min de 1ste richting plus eventueel 400 als de uitkomst negetief is.

dus: 10,0000-390,0000= -380,0000 dus + 400,0000= +20,0000.

Zo dat was het opstapje om de hoek te berekenen. Die hoek heet officieel "de ingesloten hoek"; want je hebt de lengte van twee benen van een driehoek en de hoek tussen die twee benen.

De oplossing van dit vraagstuk is nu de 'Cosinusregel'.

Deze regel luidt:  a²=b²+c²-2*b*c*cosA

uitleg:

'a' is de afstand van de te berekenen zijde

'b' is de afstand van een gemeten zijde

'c' is de afstand van de andere gemeten zijde

'A' is de ingesloten hoek.

LET OP; als de hoek in gon is moet ook je rekenmachine in gon staan.

In woorden luidt nu de cosinusregel als volgt:

" de te berekenen zijde in het kwadraat is gelijk aan: zijde 1 plus zijde 2 min 2 maal zijde 1 maal zijde 2 maal de cosinus van hoek A."

 

Stel dat de hoek 20,0000gon (A in de formule) is, en er zijn twee zijden gemeten, de eerste (b in de formule) is 15,000 meter en de tweede (c in de formule) is 20,000 meter. Hieruit volgt:

a² =     b²      +    c²      - 2 *      b    *     c     * cos     A

a² =  15,000² + 20,000² - 2 * 15,000 * 20,000 * cos 20,0000gon 

a² =     225      +   400      -        600                 *    0,951057

a² =             625              -                    570,634

a² =                              54,366

a in het kwadraat is dus 54,366 dus de wortel van 54,366 geeft de uitkomst van a

a    =  7,373 meter

 

Opmerkingen: ik heb hier al de standaard afrondingsvormen gebruikt. Doorrekenen met afgeronde tussenuitkomsten kan leiden tot een iets andere einduitkomst.

Standaard landmeetkundig geldt:

	afstanden op 3 decimalen: 12,345 meter;
	hoeken op 4 decimalen: 123,4567 gon
	tussenuitkomsten op 6 decimalen 0,123456

Het belangrijkste is eigenlijk nog wel de controle. Wie zegt namelijk dat de gevonden uitkomst goed is en je niet een foutje bij het rekenen, in de formule of bij het overschrijven hebt gemaakt.

Met de "sinusregel" kun je de twee overgebleven hoeken berekenen en in een driehoek moeten de drie hoeken opgeteld 200,0000 gon bedragen. (door afronding kan dit ook wel 199,9999 of 200,0001 bedragen).

De "sinusregel":

a/sinA= b/sinB= c/sinC   (zijde a gedeeld door de sinus van hoek A, etc)

hierbij geldt dat de zijde tegenover hoek 'A' de zijde 'a' heet, de zijde tegenover hoek 'B' de zijde 'b' heet en de zijde tegenover hoek 'C' de zijde 'c' heet.

a/sinA= b/sinB= c/sinC

7,373 / sin 20,0000 = 15,000 / sin B = 20,000 / sin C

7,373 / 0,309017 = 23,859529

Hieruit volgt dus dat:

15,000/ sin B = 23,859529

en ook dat

20,000 / sin C = 23,859529

Nu zorgen dat de onbekende aan de ene kant van het = teken staat en de bekende aan de andere kant:

sin B = 15,000 / 23,859529

sin B = 0,628680

B = 43,2809  (inverse sinus van 0,628680)

 

sin C = 20,000 / 23,859529

sin C = 0,838240

C = 63,2830 (inverse sinus van 0,838240)

C is een stompe hoek dus 200,00000 - 63,2830 = 136,7170

 

A + B + C = 200,0000

20,0000 + 43,2809 + 136,7170 = 199,9979  dus niet precies 200 door de verschillende afrondingen tussentijds.

En dan de laatste toelichting: een stompe hoek is een hoek tussen de 100,0000gon en 200,0000gon. En dat rijtje nog even volledig maken. Een scherpe hoek is dan een hoek tussen de 0,0000 gon en 100,0000 gon, een rechte hoek is een hoek van 100,0000 gon.